Question

 設(shè)函數(shù)＝，∈R

（Ⅰ）若＝為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意的∈（0,3]，恒有≤4成立.

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查函數(shù)極限的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)運(yùn)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力。分類討論等分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。滿分14分。

（Ⅰ）解：求導(dǎo)得f’(x)=2(x-a)lnx+=()(2ln x+1-).

            因?yàn)閤=e是f(x)的極值點(diǎn)，所以f’(e)= ，解得 或，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以 或。

（Ⅱ）解：①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,恒有成立，

               ②當(dāng)，由題意，首先有，

                解得

               由（Ⅰ）知，

               ，則，，

               且

                       =。

                       又在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則，。

                       從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增。所以要使對(duì)恒成立，只要

                      

                        成立。

，知

（3）

將（3）代入（1）得，又，注意到函數(shù)在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故。

再由（3）以及函數(shù)2xlnx+x在（1.+ +∞)內(nèi)單調(diào)遞增，可得。

由（2）解得，。

所以

綜上，a的取值范圍為。