【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)恰有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)關(guān)于的方程的兩個不等實根,求證:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1) (2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對參數(shù)m進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點存在性定理判斷零點的個數(shù),求出m的取值范圍;(2) 記函數(shù),,則函數(shù)的兩個相異零點為,將零點代入寫出方程,并對兩式相加和相減,再利用分析法以及變量集中構(gòu)造新函數(shù),并利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法證得命題成立.
試題解析:
(1)由題意知的定義域為,
且.
①當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
又,,
∴,即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點;
②當(dāng)時,,
令,得.
又易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴恰有一個零點.
③當(dāng)時,令,得,
在區(qū)間上,,函數(shù)單調(diào)遞增;
在區(qū)間上,,函數(shù)單調(diào)遞減,
故當(dāng)時,取得極大值,
且極大值為,無極小值.
若恰有一個零點,則,解得,
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.
(2)記函數(shù),,
則函數(shù)的兩個相異零點為
不妨設(shè),
∵,,
∴,,
兩式相減得,
兩式相加得.
∵,
∴要證,即證,
只需證,
只需證,
即證,
設(shè),則上式轉(zhuǎn)化為,
設(shè),,
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,
∴,∴,
即,即.
點睛:本題考查函數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點以及函數(shù)的單調(diào)性,最值和不等式的證明等問題. 本題也考查了零點存在性定理的應(yīng)用,如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點,即存在,使得,這個c也就是方程的實數(shù)根.但是反之不一定成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)滿足對于任意實數(shù),都有,且當(dāng)時,,.
(1)判斷的奇偶性并證明;
(2)判斷的單調(diào)性,并求當(dāng)時,的最大值及最小值;
(3)解關(guān)于的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:當(dāng)每臺電子產(chǎn)品的利潤為x(單位:元,x>0)時,銷售量q(x)(單位:百臺)與x的關(guān)系滿足:若x不超過25,則q(x)= ;若x大于或等于225,則銷售量為零;當(dāng)25≤x≤225時,q(x)=a-b(a,b為實常數(shù)).
(1) 求函數(shù)q(x)的表達(dá)式;
(2) 當(dāng)x為多少時,總利潤(單位:元)取得最大值,并求出該最大值.
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【題目】全國糖酒商品交易會將在四川舉辦.展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數(shù)與本店所需原材料數(shù)量的關(guān)系,在交易會前查閱了最近5次交易會的參會人數(shù)(萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量(袋),得到如下數(shù)據(jù):
舉辦次數(shù) | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
參會人數(shù)(萬人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料(袋) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(Ⅰ)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(Ⅱ)若該店現(xiàn)有原材料12袋,據(jù)悉本次交易會大約有13萬人參加,為了保證原材料能夠滿足需要,則該店應(yīng)至少再補充原材料多少袋?
(參考公式:,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春節(jié)過后,某市教育局從全市高中生中抽去了100人,調(diào)查了他們的壓歲錢收入情況,按照金額(單位:百元)分成了以下幾組:,,,,,.統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
該市高中生壓歲錢收入可以認(rèn)為服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值)作為的估計值.
(1)求樣本平均數(shù);
(2)求;
(3)某文化公司贊助了市教育局的這次社會調(diào)查活動,并針對該市的高中生制定了贈送“讀書卡”的活動,贈送方式為:壓歲錢低于的獲贈兩次讀書卡,壓歲錢不低于的獲贈一次讀書卡.已知每次贈送的讀書卡張數(shù)及對應(yīng)的概率如下表所示:
現(xiàn)從該市高中生中隨機抽取一人,記(單位:張)為該名高中生獲贈的讀書卡的張數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)M為滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合,存在實數(shù),使得.
(1)判斷是否為M中的元素,并說明理由;
(2)設(shè),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)已知的圖象與的圖象交于點,,證明:是中的元素,并求出此時的值(用表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面幾種推理中是演繹推理的為( )
A. 由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電,猜想:金屬都可導(dǎo)電
B. 猜想數(shù)列的通項公式為
C. 半徑為的圓的面積,則單位圓的面積
D. 由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為,推測空間直角坐標(biāo)系中球的方程為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個文藝比賽中,12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組,給參賽選手打分,下面是兩組評委對同一名選手的打分:
小組A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45
小組B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47
(1)選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量,并對每組評委的打分計算度量值.
(2)你能據(jù)此判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業(yè)人土組成的嗎?
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