Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）．
（1）求證：{a_n+1+2a_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|++|b_n|＜m對(duì)于n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件先推導(dǎo)出a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2），a₂+2a₁=15，由此可知數(shù)列{a_n+1+2a_n}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
（2）由a_n+1+2a_n=5•3ⁿ和待定系數(shù)法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由3ⁿb_n=n（-2）ⁿ，可知b_n=n（-

2

3

）ⁿ，令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹，得S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜6，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1，a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2）
∵a₁=5，a₂=5∴a₂+2a₁=15
故數(shù)列{a_n+1+2a_n}是以15為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列（5分）
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=5•3ⁿ由待定系數(shù)法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ）
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ（9分）
（3）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-

2

3

）ⁿ
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=（-

2

3

）+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿS_n
=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹（11分）
得S_n=+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜6
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對(duì)于n∈N^*恒成立，只須m≥6（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意遞推式的應(yīng)用．