Question

已知四棱錐P-ABCD如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．
（1）求此四棱錐的體積；
（2）若E是PD的中點(diǎn)，求證：AE⊥平面PCD；
（3）在（2）的條件下，若F是PC的中點(diǎn)，求四邊形ABFE的面積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可得四棱錐的底面為邊長(zhǎng)等于2的正方形，且PA垂直于底面ABCD，PA=2．由此求得四棱錐的體積

1

3

•S_ABCD•PA的值．
（2）先證明CD⊥平面PAD，故有CD⊥AE．再由AE是等腰直角三角形PAD的底邊的中線可得AE⊥PD，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得AE⊥平面PCD．
（3）在（2）的條件下，EF平行且等于

1

2

CD，ABEF為直角梯形，AE=

1

2

PD=

2

，由此求得四邊形ABFE的面積

AE(EF+AB)

2

的值．

解答：解：（1）由三視圖可得四棱錐的底面為邊長(zhǎng)等于2的正方形，
且PA垂直于底面ABCD，PA=2．
故此四棱錐的體積為

1

3

•S_ABCD•PA=

1

3

×（2×2）×2=

8

3

．
（2）由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
在正方形ABCD中，由于AD⊥CD，而且PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，
再由AE在平面PAD內(nèi)，故有CD⊥AE．
由于AE是等腰直角三角形PAD的底邊的中線，故有AE⊥PD．
而CD和PD是平面PCD內(nèi)的兩條相交直線，故有AE⊥平面PCD．
（3）在（2）的條件下，由AE⊥平面PCD，EF?平面PCD，可得 AE⊥EF．
由于EF為三角形PCD的中位線，可得EF平行且等于

1

2

CD，
故ABEF為直角梯形，AE=

1

2

PD=

2

，故四邊形ABFE的面積為

AE(EF+AB)

2

=

2 (1+2)

2

=

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三視圖、直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，求椎體的體積，屬于中檔題．