Question

在二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列
（1）求n的值；
（2）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）求展開式中項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，可得 

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2•

1

2

C

1 n

，由此解得 n的值．
（2）由于第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

r 8

，故當(dāng)r=4時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，由此求得二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（3）研究系數(shù)絕對(duì)值即可，

C r 8 ( 1 2 )r≥ C r+1 8 ( 1 2 )r+1 C r 8 ( 1 2 )r≥ C r-1 8 ( 1 2 )r-1

，解得2≤r≤3，結(jié)合通項(xiàng)公式可得第三項(xiàng)的系數(shù)最大．

解答：解：（1）二項(xiàng)式(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，
∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2•

1

2

C

1 n

，即 n²-9n+8=0，解得 n=8；
（2）由于第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

r 8

，故當(dāng)r=4時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
T5=

C

4 8

•(-

1

2

)4=

35

8

．
（3）先研究系數(shù)絕對(duì)值即可，

C r 8 ( 1 2 )r≥ C r+1 8 ( 1 2 )r+1 C r 8 ( 1 2 )r≥ C r-1 8 ( 1 2 )r-1

，解得2≤r≤3，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)，即T3=7x

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的系數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．