Question

有定點(diǎn)P（6，4）及定直線l：y=4x，Q是l上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)．PQ交x軸的正半軸于M點(diǎn)，問點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，△OMQ的面積最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線PQ的方程，令x=0求出OM，利用三角形OMQ的OM上的高為Q的縱坐標(biāo)，則根據(jù)三角形的面積公式表示出面積，然后利用基本不等式求出面積的最小值即可．

解答：解：設(shè)Q（a，4a），則直線PQ的方程為y-4=

4-4a

6-a

（x-6），
令y=0，得到x=OM=

5a

a-1

，
所以當(dāng)a＞1，即a+1＞0，a-1＞0時(shí)，
△OMQ的面積S=

1

2

×

5a

a-1

×4a=

10a2-10+10

a-1

=10（a+1）+

10

a-1

≥20

a+1 a-1

當(dāng)且僅當(dāng)10（a+1）=

10

a-1

，即a=

2

時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)Q的坐標(biāo)為（

2

，4

2

）時(shí)，面積S的最小值為20

a+1 a-1

=20

2 +1 2 -1

=20（

2

+1），

點(diǎn)評(píng)：此題為一道中檔題，要求學(xué)生靈活運(yùn)用直線的一般式方程求值，靈活運(yùn)用基本不等式求最值．構(gòu)造面積的關(guān)系式是本題的突破點(diǎn)．