Question

（1）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．如果等和數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，公和為M，試歸納a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）類比“等和數(shù)列”猜想“等積數(shù)列”{b_n}的首項(xiàng)b₁=b，公積為p的通項(xiàng)公式．
（3）利用（1）和（2）探究是否存在一個(gè)數(shù)列既是“等和數(shù)列”；又是“等積數(shù)列”．并舉例說(shuō)明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,類比推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₂=M-a，a₃=a，a₄=M-a．由此能求出通項(xiàng)公式．
（2）由“等積數(shù)列”{b_n}的首項(xiàng)b₁=b，公積為p，能求出等積數(shù)列通項(xiàng)公式．
（3）一個(gè)數(shù)列既是“等和數(shù)列”，又是“等積數(shù)列”，必須奇數(shù)項(xiàng)相同，同時(shí)偶數(shù)項(xiàng)也相同，由此能得到常數(shù)列a_n=1既是“等和數(shù)列”；又是“等積數(shù)列”．

解答： 解：（1）∵等和數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，公和為M，
∴a₂=M-a，a₃=a，a₄=M-a．（3分）
通項(xiàng)公式為a_n=

a，n為奇數(shù) M-a，n為偶數(shù)

．（4分）
（2）∵“等積數(shù)列”{b_n}的首項(xiàng)b₁=b，公積為p，
∴等積數(shù)列通項(xiàng)公式為b_n=

b，n為奇數(shù) q b ，n為偶數(shù)

．（8分）
（3）由（1）和（2）知：
一個(gè)數(shù)列既是“等和數(shù)列”，又是“等積數(shù)列”，
必須奇數(shù)項(xiàng)相同，即a=b，
同時(shí)偶數(shù)項(xiàng)也相同，即M-a=

p

q

，
∴p=Ma-a²．
例如不妨取a=b=1，則p=M-1，不妨取p=1，則M=2，
即常數(shù)列a_n=1既是“等和數(shù)列”；又是“等積數(shù)列”．（13分）
（沒有利用（1）和（2）探究扣（3分），沒有舉例扣2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，探究是否存在一個(gè)數(shù)列既是“等和數(shù)列”，又是“等積數(shù)列”，是中檔題．