Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在圓x²+y²-2ax=0（a≠0）上，M點(diǎn)滿足，M點(diǎn)的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若直線y=x-1與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)向量關(guān)系，可得M與A坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點(diǎn)A在圓x²+y²-2ax=0（a≠0）上，即可求得曲線C的方程；
（II）將直線y=x-1與曲線C聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及，建立方程，即可求a的值
解答：解：（I）設(shè)M（x，y），A（x，y）
∵M(jìn)點(diǎn)滿足，
∴（x，y）=（x-x，y-y）
∴
∵點(diǎn)A在圓x²+y²-2ax=0（a≠0）上
∴（x）²+（y）²-2a×x=0（a≠0）
∴曲線C的方程為x²+y²-4ax=0（a≠0）；
（II）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
將直線y=x-1代入x²+y²-4ax=0，整理得2x²-2（2a+1）x+1=0
∴，x₁+x₂=2a+1
∴
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=-1
∴
∴a=1．
當(dāng)a=1時(shí)，△=6²-8＞0
∴a的值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系．