Question

我們把離心率為的雙曲線稱為黃金曲線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，給出以下幾個(gè)命題：
①雙曲線是黃金曲線；
②若b²=ac，則該雙曲線是黃金曲線；
③若，則該雙曲線是黃金曲線；
④若∠MON=90°，則該雙曲線是黃金曲線；
其中正確的是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于①求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于②通過a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于③通過∠F₁B₁A₂=90°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
對于④利用∠MON=90°，轉(zhuǎn)化為a，b，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率判斷正誤；
解答：解：①雙曲線可知，a=1，b²=，所以c²=，
所以雙曲線的離心率為=，是黃金曲線，正確；
②b²=ac，即-a²+c²=ac，解得e==則該雙曲線是黃金曲線；正確．
③因?yàn)椤螰₁B₁A₂=90°，所以（a+c）²=a²+2b²+c²，即-a²+c²=ac，解得e==則該雙曲線是黃金曲線；正確．
④因?yàn)椤螹ON=90°，所以c=，即a²+c²=ac，解得e==則該雙曲線是黃金曲線；正確．
故答案為：①②③④
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，a，b，c的關(guān)系，離心率的求法，考查計(jì)算能力．