Question

已知函數(shù)．
（I）若，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若對任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a取值范圍．

Answer 1

解：（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
f^′（x）=，
當(dāng)時，=，
令f^′（x）=0，解得或2．列表：

x				2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	等單調(diào)遞增

函數(shù)f（x）在處取得極大值，
函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（2）=ln2-；
（II），當(dāng)x∈（1，3）時，，
（i）當(dāng)1+a≤2，即a≤1時，x∈（1，3），f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，3）是增函數(shù)，
?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；
（ii）當(dāng)，即時，x∈（1，3）時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，3）是減函數(shù)，
?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合題意，應(yīng)舍去；
（iii）當(dāng)2＜1+a＜，即時，x∈（1，3）時，f^′（x）先取負(fù)，再取0，最后取正，函f（x）在（1，3）先遞減，再遞增，而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；
綜上，a的取值范圍是（-∞，1）．
分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在某點取得極值的條件即可得出；
（Ⅱ）先求導(dǎo)，通過對a分類討論以確定f^′（x）的正負(fù)，即函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出．
點評：熟練掌握分類討論的思想方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．