Question

12．若關(guān)于x的不等式（ax-20）（lg2a-lgx）≤0對任意的x∈N₊恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 原不等式可轉(zhuǎn)化為（ax-20）（2a-x）≤0，即不等式（x-$\frac{20}{a}$）（x-2a）≥0對任意x∈N₊恒成立，進(jìn)而求出a的范圍．

解答 解：由題可知x＞0，a＞0，原不等式可轉(zhuǎn)化為（ax-20）（2a-x）≤0，
即不等式（x-$\frac{20}{a}$）（x-2a）≥0對任意x∈N₊恒成立，
當(dāng)a≥$\sqrt{10}$時(shí)，$\frac{20}{a}$≤2a，此時(shí)，不等式的解決為（0，$\frac{20}{a}$]∪[2a．+∞），
而2$\sqrt{10}$∈[$\frac{20}{a}$，2a]，
所以$\frac{20}{a}$≥6用2a≤7，解得a≤$\frac{10}{3}$，
故a∈[$\sqrt{10}$，$\frac{20}{a}$]；
同理，當(dāng)a＜$\sqrt{10}$時(shí)，a∈[3，$\sqrt{10}$）
綜上[3，$\frac{10}{3}$]
故a的范圍為[3，$\frac{10}{3}$]，
故答案為：[3，$\frac{10}{3}$]

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立等知識，考查考生分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，屬于較難題