Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）+-ax，a＞0．
（I）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）記f（x）在[2，+∞）的最小值為f（t），求t的值．

Answer 1

解：（I）f（x）的定義域為（1，+∞），
f'（x）=+（x-1）+1-a≥2+1-a=3-a
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時f′（x）取最小值3-a．
當(dāng)a＞3時，3-a＜0，
f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a≤3時，3-a≥0，不存在使得f′（x）＜0的區(qū)間
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）；
（II）f'（x）=，對于分子，
△=（a+1）²=4（a+1）=（a+1）（a-3），
由（I）可知，當(dāng)0＜a≤3時，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞3時，△＞0，由x²-（a+1）x+a+1=0，
得x₂=
由x₁-2=＜0x₂-2=＞0
知x₁＜2＜x₂當(dāng)x∈（2，x₂）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)0＜a≤3時，t=2；當(dāng)a＞3時，t=．
分析：（I）由函數(shù)的解析式，易求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)的解析式，根據(jù)定義域和導(dǎo)函數(shù)的解析式，我們對a進(jìn)行分類討論，易得到f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間時，a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導(dǎo)函數(shù)我們可以探討函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)在[2，+∞）的最小值為f（t），繼而得到t的取值．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值，在探討函數(shù)的最值時我們常以導(dǎo)數(shù)作為工具，先研究函數(shù)的單調(diào)性，然后在求其最值．本題是個中檔題．