Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a≥b，sinA+

3

cosA=2sinB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=

3

，求a+b的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知的等式左邊提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)a≥b，得到A≥B，列出A與B的關(guān)系式，求出A+B的度數(shù)，即可求出角C的大��；
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將c與sinC的i代入表示出a與b，代入a+b中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出a+b的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）sinA+

3

cosA=2sinB，即2（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=2sin（A+

π

3

）=2sinB，
∵A，B都為三角形內(nèi)角，且a≥b，
∴A≥B，
∴A+

π

3

=π-B，即A+B=

2π

3

，
則C=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，即a=

csinA

sinC

，b=

csinB

sinC

，
∴a+b=

c

sinC

（sinA+sinB）=2（sinA+sinB）
=2[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=2（sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=2

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=2

3

sin（A+

π

6

），
∵A≥B，∴

π

3

≤A＜

2π

3

，即

π

2

≤A+

π

6

＜

5π

6

，
當(dāng)A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，a+b的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．