Question

若直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長(zhǎng)，則的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意可推斷出直線l過(guò)圓的直徑，利用圓的方程求得圓心坐標(biāo)代入直線方程求得a和b的關(guān)系，然后把整理成（4a+b）（）的形式展開后利用基本不等式求得答案．
解答：解：整理圓的方程得（x+4）²+（y+1）²=16，
∴圓心坐標(biāo)為（-4，-1）
∵直線l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始終平分圓M：x²+y²+8x+2y+1=0的周長(zhǎng)
∴直線l過(guò)圓心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴=（4a+b）（）=8++≥8+2=16（當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立．）
故答案為：16
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．