Question

2．已知實數(shù)函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），方程f（x）=x在（0，1）上有兩個不等實根x₁，x₂（x₁＜x₂）
（1）求f（$\frac{1}{2}$）的取值范圍；
（2）設(shè)實數(shù)λ＞0，t=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$
求證：（i）x₁＜t＜x₂；
（ii）x₁＜f（t）＜x₂．

Answer 1

分析 （1）運用二次方程實根分布的表示，可得不等式組，注意判別式大于0，對稱軸介于0和1，端點的函數(shù)值大于0，畫出不等式組表示的區(qū)域，由三點代入即可得到所求范圍；
（2）（i）由0＜x₁＜x₂＜1，λ＞0，作差比較，化簡即可得證；
（ii）由x₁=f（x₁），t-x₁＞0，x₁+a=1-x₂＞0，作差比較可得x₁＜f（t）；同理可得f（t）＜x₂．

解答 解：（1）由題意可得x₁，x₂為方程x²+（a-1）x+b=0的兩根，
即有x₁+x₂=1-a，x₁x₂=b，
由x₁，x₂∈（0，1），可得
$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b＞0}\\{0＜-\frac{a-1}{2}＜1}\\{（a-1）^{2}-4b＞0}\end{array}\right.$，畫出（a，b）表示的可行域，如右OAB表示的部分：
又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$a+b，將A（-1，1）代入f（$\frac{1}{2}$）可得$\frac{3}{4}$；
將（0，0）代入，可得$\frac{1}{4}$；將B（1，0）代入f（$\frac{1}{2}$）可得$\frac{3}{4}$．
綜上可得，f（$\frac{1}{2}$）的取值范圍為（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
（2）證明：（i）由0＜x₁＜x₂＜1，λ＞0，
可得t-x₁=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$-x₁=$\frac{λ（{x}_{2}-{x}_{1}）}{1+λ}$＞0，
即有t＞x₁；
t-x₂=$\frac{{x}_{1}+λ{x}_{2}}{1+λ}$-x₂=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1+λ}$＜0，
即有t＜x₂．
綜上可得，x₁＜t＜x₂；
（ii）由x₁=f（x₁），t-x₁＞0，x₁+a=1-x₂＞0，
可得f（t）-x₁=f（t）-f（x₁）=t²+at+b-x₁²-ax₁-b
=（t-x₁）（t+x₁+a）＞0，
可得f（t）＞x₁；
同樣f（t）-x₂=f（t）-f（x₂）=t²+at+b-x₂²-ax₂-b
=（t-x₂）（t+x₂+a）＜0，
可得f（t）＜x₂．
綜上可得，x₁＜f（t）＜x₂．

點評 本題考查二次函數(shù)和方程的關(guān)系，考查實根分布的表示，注意運用判別式和對稱軸方程，同時考查不等式的證明，注意運用作差法，考查推理和運算能力，屬于中檔題．