Question

已知函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）用單調性的定義證明f（x）在（-1，1）上是增函數；
（3）解不等式f（t²-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）函數是定義在（-1，1）上的奇函數，可得f（0）=0，再結合f(

1

2

)=

2

5

聯(lián)解，可得a、b的值，從而得到函數f（x）的解析式．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，將f（x₁）與f（x₂）作差、因式分解，經過討論可得f（x₁）＜f（x₂），由定義知f（x）是（-1，1）上的增函數．
（3）根據f（x）是奇函數且在（-1，1）上是增函數，得原不等式可化為t²-1＜-t…①，再根據函數的定義域得-1＜t²-1＜1且-1＜t＜1…②，聯(lián)解①②可得原不等式的解集．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴由f（0）=0，得b=0．
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，解之得a=1；
因此函數f（x）的解析式為：f(x)=

x

1+x2

．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，則 f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
從而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是增函數．
（3）∵f（x）是奇函數，
∴f（t²-1）+f（t）＜0即為f（t²-1）＜-f（t）=f（-t），
又∵f（x）在（-1，1）上是增函數，
∴f（t²-1）＜f（-t）即為t²-1＜-t，解之得：-

1+ 5

2

＜t＜

-1+ 5

2

…①
又∵

-1＜t2-1＜1 -1＜t＜1

，解之得-1＜t＜1且t≠0…②
對照①②，可得t的范圍是：(-1，0)∪(0，

-1+ 5

2

)．
所以，原不等式的解集為(-1，0)∪(0，

-1+ 5

2

)．

點評：本題給出含有字母參數的分式函數，在已知奇偶性的前提下求函數的解析式，并且討論的函數的單調性，著重考查了函數的單調性與奇偶性、一元二次不等式的解法等知識，屬于基礎題．