Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，設(shè)函數(shù)f（x）=k（x-2）+3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，給出下列四個命題：
①存在正實數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；
②存在正實數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有兩條；
③存在正實數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有三條；
④存在正實數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有四條．
其中所有真命題的序號是（　�。�

A．①②③

B．③④

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：根據(jù)直線方程求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，再構(gòu)造以斜率k為自變量，S_△是變量k的函數(shù)，利用均值不等式求函數(shù)最小值方法，分k＞0和k＜0兩種情況討論存在直線的條件，再分析求解．

解答：解：∵直線y=k（x-2）+3與x軸，y軸交點的坐標(biāo)分別是，A（2-

3

k

，0），B（0，3-2k）．
S_△=

1

2

×|2-

3

k

|×|3-2k|=

1

2

×

(2k-3)2

|k|

．
當(dāng)k＞0時，S_△=

1

2

×

4k2-12k+9

k

=

1

2

×（4k+

9

k

-12），
∵4k+

9

k

≥2

4×9

=12，當(dāng)且僅當(dāng)k=

3

2

時取等號．
∴當(dāng)S_△=m＞0時，在k＞0時，k有兩值；
當(dāng)k＜0時，S_△=

1

2

×

(2k-3)2

|k|

=

1

2

×

4k2-12k+9

-k

=

1

2

×[（-4k+

9

-k

）+12]，
∵-4k+

9

-k

≥2

4×9

=12．當(dāng)且僅當(dāng)k=-

3

2

時取等號．
當(dāng)m＞12時，在k＜0時，k有兩值．；
∴當(dāng) m=0時，僅有一條直線使△AOB的面積為m，∴①不正確；
當(dāng)0＜m＜12時，僅有兩條直線使△AOB的面積為m，∴②正確；
當(dāng)m=12時，僅有三條直線使△AOB的面積為m，∴③正確；
當(dāng)m＞12時，僅有四條直線使△AOB的面積為m，∴④正確．
故選D

點評：本題借助考查命題的真假判定，考查直線與坐標(biāo)軸圍成的△的面積問題．S_△的面積可根據(jù)直線在坐標(biāo)軸上的截距求得．在本題中根據(jù)斜率k取值的個數(shù)來確定直線存在的條數(shù)，這是解決此類題的常用方法．