Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0，且a≠1）．
（1）解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，8]上的最大值是1，最小值是-

1

8

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,對數(shù)的運算性質(zhì),指、對數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）先將不等式進行化簡，轉(zhuǎn)化為關于log_ax的二次不等式，解出log_ax后，再結合已知求解x的范圍；
（2）利用換元思想，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，結合配方法求出結果，注意分類討論．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

（log_ax+1）（log_ax+2）=

1

2

（log

2 a

x+3log_ax+2），
令f（x）＞0，即log

2 a

x+3log_ax+2＞0，解得log₂x＜-2或log_ax＞-1，
當0＜a＜1時，不等式解集為{x|0＜x＜

1

a

或x＞

1

a2

}，
當a＞1時，不等式解集為{x|0＜x＜

1

a2

或x＞

1

a

}，
（2）由題意知f（x）=

1

2

（log_ax+1）（log_ax+2）
=

1

2

（loga2x+3logax+2）=

1

2

（log_ax+

3

2

）²-

1

8

．
當f（x）取最小值-

1

8

時，log_ax=-

3

2

．
又∵x∈[2，8]，∴a∈（0，1）．
∵f（x）是關于log_ax的二次函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最大值必在x=2或x=8時取得．
若

1

2

（log_a2+

3

2

）²-

1

8

=1，則a=2-

1

3

，
此時f（x）取得最小值時，x=(2-

1

3

)-

3

2

=

2

∉[2，8]，舍去．
若

1

2

（log_a8+

3

2

）²-

1

8

=1，則a=

1

2

，
此時f（x）取得最小值時，x=(

1

2

)-

3

2

=2

2

∈[2，8]，
符合題意，∴a=

1

2

．

點評：對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合構成的函數(shù)，對數(shù)函數(shù)為內(nèi)層時，一般采用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，注意中間量的取值范圍．