Question

在一塊傾斜放置的矩形木塊上釘著一個形如“等腰三角形”的五行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙，第2行3個鐵釘之間有2個空隙…第5行6個鐵釘之間有5個空隙（如圖）．某人將一個玻璃球從第1行的空隙向下滾動，玻璃球碰到第2行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙，以后玻璃球按類似方式繼續(xù)往下滾動，落入第5行的某一個空隙后，掉入木板下方相應(yīng)的球槽．玻璃球落入不同球槽得到的分?jǐn)?shù)ξ如圖所示．
（Ⅰ）求Eξ；
（Ⅱ）若此人進(jìn)行4次相同試驗(yàn)，求至少3次獲得4分的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中落入左邊空隙的次數(shù)為η，則η～B（4，

1

2

）．由此能求出Eξ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次試驗(yàn)獲得4分的概率

1

2

，他進(jìn)行4次相同試驗(yàn)可以看著他進(jìn)行了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由此能求出至少3次獲得4分的概率．

解答： 解：（Ⅰ）從第1行開始，玻璃球從一個空隙向下滾動，
碰到此空隙下方的一個鐵釘后以

1

2

的概率落入鐵釘左邊的空隙，
同樣以

1

2

的概率落入鐵釘右邊的空隙．
玻璃球繼續(xù)往下滾動時，總有落入鐵釘左邊和右邊空隙的兩種結(jié)果．
到最后落入某一個球槽內(nèi)，一共進(jìn)行了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
設(shè)4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中落入左邊空隙的次數(shù)為η，則η～B（4，

1

2

）．
P（ξ=6）=P（η=0）+P（η=4）=

C

0 4

(

1

2

)4+

C

4 4

(

1

2

)4=

1

8

，（2分）
P（ξ=4）=P（η=1）+P（η=3）=

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3+

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)=

1

2

，（4分）
P（ξ=2）=P（η=2）=

C

2 4

(

1

2

)2(

1

2

)2=

3

8

．（6分）
則Eξ=6×

1

8

+4×

1

2

+2×

3

8

=3.5．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，此人一次試驗(yàn)獲得4分的概率

1

2

，
他進(jìn)行4次相同試驗(yàn)可以看著他進(jìn)行了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，（10分）
則至少3次獲得4分的概率P=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)+

C

1 4

(

1

2

)(

1

2

)3=

5

16

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．