Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列，等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：

.

（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求；

（3）設(shè)，問是否存在正整數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用等差數(shù)列的有關(guān)知識建立方程組求解；(2)借助題設(shè)運(yùn)用錯位相減法求和；(3)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用分類整合思想分析推證和探求.

試題解析：

（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，

即，解得，公差為3，．．．．．．．．．．．．．2分

所以，得．．．．．．．．．．．．．．3分

又，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2），．．．．．．．．．①

則，．．．．．．．．．．．．．．②

將①—②得：

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）因?yàn)?/span>，

當(dāng)時，，不等，．．．．．．．．．．．9分

當(dāng)時，，

成立，．．．．．．．．．．．．．．．10分

當(dāng)且為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為奇數(shù)，

所以為偶數(shù)，為奇數(shù)，不成立，．．．．．．．．．．．．．12分

當(dāng)，且為偶數(shù)時，若，

即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分

得．．．．．．．．．．．．．（*）

因?yàn)?/span>，所以（*）不成立．．．．．．．15分

綜上得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分