Question

節(jié)假日自駕游成為時(shí)尚，為了確保交通安全，在一個(gè)交通擁擠及事故易發(fā)生路段，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速v（單位：km/h）的平方和車身長(zhǎng)l（單位：m）的乘積與車距d成正比，且最小車距不得少于半個(gè)車身長(zhǎng)．假定車身長(zhǎng)均為l（單位：m）且當(dāng)車速為50（km/h）時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)，問(wèn)交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使在此路段的車流量Q最大？（車流量=

車速	車距+車身長(zhǎng)

）

Answer 1

分析：根據(jù)車距d是車速v（千米/小時(shí)）的平方與車身長(zhǎng)l（米）之積的正比例函數(shù)，可假設(shè)函數(shù)解析式．利用車速為50千米/小時(shí)，車距恰為車身長(zhǎng)．可求d關(guān)于v的解析式，從而可得車流量關(guān)于v的函數(shù)，利用基本不等式可求最值．

解答：解：∵車距d是車速V（公里/小時(shí)）的平方與車身長(zhǎng)S（米）積的正比例函數(shù)，設(shè)d=Kv²l，
∵V=50時(shí)，d=l，得s=K×50²×l，∴K=

1

2500

∴d=

1

2500

v2l，
又d=

1

2

l時(shí)，v=25

2

∴當(dāng)0＜v≤25

2

時(shí)，車距d等于車身長(zhǎng)的一半，∴d=

1

2

l，
當(dāng)v＞25

2

時(shí)，車距d=

1

2500

v2，
則有

d= 1 2500 v2l(v＞25 2 ) 1 2 l，(0＜v≤25 2 )

，
則Q=

1000v

d+l

=

1000v l(1+ v2 2500 ) (v＞25 2 ) 1000v 3l 2 (v≤25 2 )

顯然當(dāng)v≤25

2

時(shí)，Q是關(guān)于v的增函數(shù)，
∴當(dāng)v=25

2

時(shí)，Q=

2000v

3l

，∴Qmax=

50000 2

3l

當(dāng)v＞25

2

時(shí)，Q=

1000v

d+l

=

1000v

l(1+ v2 2500 )

=

1000

l( 1 v + v 2500 )

≤

1000

l•2 1 v • v 2500

=

25000

l

當(dāng)且僅當(dāng)v=50時(shí)，上式等號(hào)成立．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)v=50（km/h）時(shí)，車流量Q取得最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型．主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同時(shí)考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．屬于中檔題．