Question

15．在△ABC中，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，當(dāng)C角最大時(shí)，△ABC的面積是多少．

Answer 1

分析 由正弦定理可得a+$\sqrt{2}$b=2c，兩邊平方后，由余弦定理，基本不等式可求cosC≥$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b時(shí)等號(hào)成立，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求C的最大值為$\frac{5π}{12}$，可求此時(shí)，b，a的值，由三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，
∴a+$\sqrt{2}$b=2c，可得：a²+2b²+2$\sqrt{2}$ab=4c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-\frac{{a}^{2}+2^{2}+2\sqrt{2}ab}{4}}{2ab}$=$\frac{\frac{3{a}^{2}}{4}+\frac{^{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$≥$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}ab-\frac{\sqrt{2}}{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b時(shí)等號(hào)成立，
又∵cosC在（0，π）上單調(diào)遞減，
∴C的最大值為$\frac{5π}{12}$，此時(shí)，b=3，a=$\sqrt{6}$，可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$sin$\frac{5π}{12}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．