Question

已知

a

=(1，cosx)，

b

=(sinx，-1)，函數f(x)=

a

•

b

 (x∈R)
（I）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，π]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積公式求出f（x），據公式asinx+bcosx= 

a2+b2

 sin(x+θ)化簡f（x）；令整體角在正弦的遞增區(qū)間上，求出x的范圍為f（x）的遞增區(qū)間
（II）先求出整體角的范圍，利用三角函數的單調性求出f（x）的最大值．

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，得-

π

4

+2kπ≤x≤

3

4

π+2kπ(k∈Z)，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[-

π

4

+2kπ，

3

4

π+2kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(x)=

2

sin(x-

π

4

)，
∵x∈[0，π]，∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴當x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

4

時，f(x)max=

2

．

點評：本題考查向量的數量積公式、考查三角函數的公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)、考查求三角函數的單調性，最值，求對稱性問題時常用整體角處理的方法．