Question

已知α是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sinα+cosα=

1

5

，則sin2α+cos²α的值為（　　）

• A．-

  3

  5

• B．-

  8

  25

• C．

  33

  25

• D．-

  3

  5

  或-

  8

  25

Answer 1

分析：由sinα+cosα=

1

5

平方，可求得sin2α，根據(jù)其符號(hào)及已知可判斷α范圍，進(jìn)而求得2α范圍，從而可判斷cos2α的符號(hào)，利用平方關(guān)系求得cos2α，用倍角公式可得cos²α．

解答：解：由sinα+cosα=

1

5

，得(sinα+cosα)2=

1

25

，即1+2sinαcosα=

1

25

，
所以sin2α=-

24

25

，且sinα＞0，cosα＜0，|sinα|＞|cosα|，
所以

π

4

＜α＜

3

4

π，

π

2

＜2α＜

3

2

π，
所以cos2α=-

1-sin22α

=-

7

25

，cos²α=

1+cos2α

2

=

9

25

，
所以sin2α+cos²α=-

24

25

+

9

25

=-

3

5

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、三角函數(shù) 化簡(jiǎn)求值，解決本題的關(guān)鍵是α范圍的限制．