Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=圖象的下方；
（Ⅲ）請你構(gòu)造函數(shù)h（x），使函數(shù)F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，存在兩個極值點(diǎn)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值．
（2）先求出函數(shù)G（x）的解析式，然后求導(dǎo)進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后求出函數(shù)在（1，+∞）上的最小值大于0進(jìn)而可得證．
（3）假設(shè)h（x）=-x，然后表示出函數(shù)F（x）的解析式后進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，最后再用函數(shù)的單調(diào)性可證明有兩個極值點(diǎn)．
解答：解：（Ⅰ）
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為f（e）=，
最小值為f（1）=；
（Ⅱ）證明：設(shè)G（x）=g（x）-f（x），
則G（x）=，
==，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，顯然有G′（x）＞0，
∴G（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴G（x）＞G（1）=＞0在（1，+∞）上恒成立，
即g（x）＞f（x）在（1，+∞）上恒成立，
∴在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=圖象的下方．
（Ⅲ）令h（x）=-x，則F（x）=-x（x＞0），

令F′（x）=0，得x=，或x=2，令F′（x）＞0得，
0＜x＜，或x＞2，令F′（x）＜0得，＜x＜2
∴當(dāng)h（x）=-x時，函數(shù)F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，
存在兩個極值點(diǎn)x₁=，x₂=2．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、求導(dǎo)運(yùn)算、根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．導(dǎo)數(shù)時高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)每年必考，要給予重視．