Question

已知橢圓=1上任意一點(diǎn)P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點(diǎn)M在線段PQ上，且=2，點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點(diǎn)F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)G，H（點(diǎn)G在點(diǎn)F，H之間），且滿足=2，求直線l的方程.

Answer 1

（1）+y²=1（2）y=±x+2

（1）設(shè)M（x,y）,P(x₀,y₀),
∵=2，∴
將其代入橢圓方程得=1
得曲線E的方程為：+y²="1."
(2)設(shè)G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），
∵=2，∴x₂=2x₁                                                                                       ①
依題意，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，G（0，1），H（0，-1），不滿足=2.故設(shè)直線l:y=kx+2,代入曲線E的方程并整理得（1+2k²）x²+8kx+6="0,            "         （*）
∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=                                              ②
聯(lián)立①②解得k=±,此時(shí)（*）中Δ＞0.
所以直線l的方程為：y=±x+2.