Question

如圖2-2-25,已知在正方體ABCD—A′B′C′D′中,面對角線AB′、BC′上分別有兩點E、F,且B′E=C′F.

圖2-2-25

求證:(1)EF∥平面ABCD.

(2)平面ACD′∥平面A′BC′.

Answer 1

思路分析:對于第(1)問,證明直線與平面平行可以從線線平行入手,也可以從面面平行入手來證.而對于第(2)問,一般可以轉化為線線平行.

(1)證法一:(由線線平行證線面平行)

過點E、F分別作AB、BC的垂線EM、FN分別交AB、BC于點M、N,連結MN(如圖2-2-26).

圖2-2-26

∵BB′⊥平面ABCD,

∴BB′⊥AB,BB′⊥BC.

∴EM∥BB′,FN∥BB′.

∴EM∥FN.

    ∵AB′=BC′,B′E=C′F,∴AE=BF.

又∠B′AB=∠C′BC=45°,

∴Rt△AME≌Rt△BNF.

∴EM=FN.

∴四邊形MNFE是平行四邊形.

∴EF∥MN.

又MN平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

證法二:(由面面平行證線面平行)

過點E作EG∥AB交BB′于點G,連結GF(如圖2-2-27).

圖2-2-27

∴.

∵B′E=C′F,B′A=C′B,

∴.∴FG∥B′C∥BC.

又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B,

∴平面EFG∥平面ABCD.

又EF平面EFG,∴EF∥平面ABCD.

(2)證明:(由線線平行證面面平行)

如圖2-2-28,∵在正方體ABCD—A′B′C′D′中,AD′∥BC′,CD′∥BA′,

圖2-2-28

又AD′∩CD′=D′,BC′∩BA′=B,

∴平面ACD′∥平面A′BC′.