Question

【題目】已知曲線f（x）= ax3﹣blnx在x=1處的切線方程為y=﹣2x+
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：x＞0時(shí)， ＜ （e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=ax2﹣ ， 故f（1）= a，f′（1）=a﹣b，
故切線方程是：y=（a﹣b）（x﹣1）+ a=（a﹣b）x﹣ a+b，
而y=﹣2x+ ，故a﹣b=﹣2，﹣ a+b= ，
解得：a=2，b=4，
故f（x）= x3﹣4lnx，（x＞0），
f′（x）=2x2﹣ = （x＞0），
當(dāng)x∈（0，3 ）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（3 ，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，3 ）上為減函數(shù)，在x（3 ，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）的極小值為f（3 ）= ﹣4ln = （1﹣ln2），無極大值；
（Ⅱ）證明：f（x）= x3﹣4lnx，
要證 ＜ ，即證 ﹣ ＜xlnx．
令g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），
則g′（x）=lnx+1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜ ；由g′（x）＞0，得x＞ ，
∴當(dāng)x= 時(shí)取得最小值，最小值為g（ ）=﹣ ，
由h（x）= ﹣ ，可得h′（x）= ，
∴當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
函數(shù)h（x）（x＞0）在x=1時(shí)取得最大值，
又h（1）=﹣ ，∴h（x）＜﹣ ，
∴任意x∈（0，+∞）， ＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求得函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的方程，求得a，b值，進(jìn)一步求出原函數(shù)的極小值點(diǎn)，得到f（x）的極小值；（Ⅱ）把f（x）的解析式代入 ＜ ，轉(zhuǎn)化為證 ﹣ ＜xlnx，分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx，x∈（0，+∞），h（x）= ﹣ （0，+∞），然后利用導(dǎo)數(shù)分別求出它們的最值得到要證明的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．