Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，離心率為

1

2

，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊
形周長等于8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M、N是直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

F1M

-

F2N

=0．設(shè)E是以MN為直徑的圓，試判斷原點(diǎn)O與圓E的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由離心率的值、及橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形周長等于8這2個(gè)條件求出橢圓的長半軸、半焦距的值，再利用長半軸、半焦距、短半軸之間的關(guān)系求出短半軸的長，待定系數(shù)法求出橢圓方程．
（2）設(shè)出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)M（4，t₁），N（4，t₂），因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

F1M

•

F2N

=0，可得：5×3+t₁t₂=0，化簡

OM

•

ON

的結(jié)果等于1，大于0，故∠MON為銳角，所以原點(diǎn)O在圓E外．

解答：解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意得：

c

a

=

1

2

，4a=8，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．設(shè)M（4，t₁），N（4，t₂），
則

F1M

=（5，t₁），

F2N

=（3，t₂），

OM

=（4，t₁），

ON

=（4，t₂），
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

F1M

•

F2N

=0，所以5×3+t₁t₂=0．

OM

•

ON

=4×4+t₁t₂=16-15=1＞0，
故∠MON為銳角．所以原點(diǎn)O在圓E外．

點(diǎn)評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，2個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．