Question

已知函數(shù)圖象在x=1處的切線方程為2y﹣1=0．

（1） 求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若△ABC的三個頂點(diǎn)（B在A、C之間）在曲線y=f（x）+ln（x﹣1）（x＞1）上，試探究與的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)得：f'（x）=，
由題意得：f'（1）=0，f（1）=，
=0，=，
解得a=1，b=0，
由f'（x）=﹣＞0，解得：x＜﹣1或x＞1；
由f'（x）=﹣＜0，解得：﹣1＜x＜1，
f（x）在（﹣，﹣1）或（1，+）上是減函數(shù)，在（﹣1，1）上是增函數(shù)，
則f（x）的極小值為f（﹣1）=﹣，f（x）的極大值為f（1）=；
（2） 設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），
且x₁＜x₂＜x₃，y=f（x）+ln（x﹣1）=+ln（x﹣1）（x＞1），
y'=＞0，
函數(shù)在（1，+）上單調(diào)遞增，
由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，
·=（x₁﹣x₂）（x₃﹣x₂）+（y₁﹣y₂）（y₃﹣y₂）＜0，
B是鈍角，由余弦定理得cosB=＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得：sin²A+sin²C＜sin²B，則＞＞1，
又f（x）是（1，+）上的增函數(shù)，
＞．