（I）已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角是
π
3
，求實數(shù)k，使得5
a
+3
b
與3
a
+k
b
垂直．
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=
1
5
，求tanα的值．
分析：（I）由已知的兩向量垂直，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算后，將已知的
a
與
b
的模及夾角代入，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（II）將已知的等式sinα+cosα=
1
5
兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，得到2sinαcosα的值小于0，可得sinα大于0，cosα小于0，再利用完全平方公式求出（sinα-cosα）2的值，開方得到sinα-cosα的值，與sinα+cosα的值聯(lián)立求出sinα和cosα的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切后，即可求出tanα的值．
解答：解：（I）∵5
a
+3
b
與3
a
+k
b
垂直，
a
與
b
的夾角是
π
3
，
∴（5
a
+3
b
）•（3
a
+k
b
）=0，
即15|
a
|2+（5k+9）|
a
|•|
b
|cos
π
3
+3k|
b
|2=0，
又|
a
|=2，|
b
|=3，
∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-
87
42
；
（II）把sinα+cosα=
1
5
①兩邊平方得：
sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=
1
25
，
∴2sinαcosα=-
24
25
＜0，又0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
則（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=
49
25
，
∴sinα-cosα=
7
5
②，
聯(lián)立①②解得：sinα=
4
5
，cosα=-
3
5
，
則tanα=-
4
3
．
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及兩向量垂直時滿足的關系，熟練掌握法則及基本關系是解本題的關鍵，同時注意判斷sinα與cosα的正負．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（I）已知
a
=（1，2），求與
a
平行且反向的單位向量坐標；
（Ⅱ）已知|
a
|=5，|
b
|=4，
a
與
b
的夾角為60°，如果（k
a
-
b
）⊥(
a
+2
b
)，求實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a=2，A=
π
3
．
（I 若|
AB
+
AC
|=2
3
，試判定△ABC的形狀；
（II）若sinA+sin（B-C）=2sin2C，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(2，-3)，
b
=(1，m)（m∈R），
c
=(2，5)
（I）若(
a
+
b
)•
c
=1，求m的值；（II）若(
a
-
b
)•(
b
+
c
)＞0，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（I）已知|
a
|=2，|
b
|=3，
a
與
b
的夾角是
π
3
，求實數(shù)k，使得5
a
+3
b
與3
a
+k
b
垂直．
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=
1
5
，求tanα的值．

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