Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）在點（1，f（1））處切線l的方程，并判斷l(xiāng)與f（x）的圖象交點的個數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）已知f（x）=lnx-ax+1，對你進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和斜率的關(guān)系，求出切線的方程，可得結(jié)論；
（Ⅱ）若f（x）存在零點，則a=

lnx

x

（x＞0），求出函數(shù)的最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（1）=1，
k₁=f′（1）=0，所以切線l的方程為y=1；
作F（x）=f（x）-1=x-lnx-1，x＞0，則F′（x）=1-

1

x

，解F′（x）=0得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	↘	最小值	↗

所以任意x＞0且x≠1，F(xiàn)（x）＞0，f（x）＞
即函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的上方，l與f（x）的圖象交點的個數(shù)為1個；
（Ⅱ）若f（x）存在零點，則ax-lnx=0有解，
∴a=

lnx

x

（x＞0），
令y=

lnx

x

（x＞0），則y′=

1-lnx

x2

，
∴0＜x＜e，y′＞0，x＞e，y′＜0，
∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y≤

1

e

，
∴a≤

1

e

．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)