Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=3x，若$\frac{1}{2}$$＜a＜\frac{3}{4}$，關于x的方程ax+3a-f（x）=0在區(qū)間上[-3，2]不相等的實數(shù)根的個數(shù)為5．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關系求出函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)與方程的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
若x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=3x，
∴當-x∈[0，1]時，f（-x）=-3x，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=-3x=f（x），
即f（x）=-3x，x∈[-1，0]，
由ax+3a-f（x）=0得a（x+3）=f（x），
設g（x）=a（x+3），
分別作出函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上[-3，2]上的圖象如圖
∵$\frac{1}{2}$$＜a＜\frac{3}{4}$，
∴當a=$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{4}$時，對應的直線為兩條虛線，
則由圖象知兩個函數(shù)有5個不同的交點，
故方程有5個不同的根，
故答案為：5．

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程的關系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．