已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則內(nèi)切圓的圓面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）；（2）圓的面積的最大值為，直線(xiàn)方程.

解析試題分析：本題考查橢圓的方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及研究三角形內(nèi)切圓面積問(wèn)題.（1）由橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，建立方程組，求出、的值，從而得出橢圓方程；（2）是探索性問(wèn)題，研究是否存在過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，使得內(nèi)切圓的圓面積最大的問(wèn)題，求解分三個(gè)步驟，根據(jù)條件得出面積的關(guān)系式，將用直線(xiàn)的斜率的倒數(shù)表示，再通過(guò)函數(shù)知識(shí)求面積的最大值；由此求出直線(xiàn)的方程；將由面積關(guān)系式得到的面積的最大值代入面積關(guān)系式，即可得到圓的半徑的最大值，進(jìn)而求出圓的面積的最大值.
試題解析：（1）設(shè)橢圓左焦點(diǎn)，則，解得，，
故所求橢圓方程為.
（2）設(shè)，，令，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為，，
因此若最大，則最大，
又，由題設(shè)知直線(xiàn)的斜率不為0，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立方程組消去整理得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
，
即，令，則，由此得，
令，即在上單調(diào)遞增，
，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，），
這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積的最大值為，
故直線(xiàn)的方程為，內(nèi)切圓的面積的最大值為.
考點(diǎn)：橢圓方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，三角形的內(nèi)切圓面積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)．若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為,其中左焦點(diǎn)(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線(xiàn)y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在拋物線(xiàn) y2＝4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l：y＝kx＋3對(duì)稱(chēng)，求k的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于K點(diǎn).

（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)MO、NO分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)P、Q，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|MD|＝|PD|，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，過(guò)點(diǎn)的兩直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于A、B兩點(diǎn)， AD、BC垂直于直線(xiàn)，垂足分別為D、C．

（1）若，求矩形ABCD面積；
（2）若，求矩形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，直線(xiàn)y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（2）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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