Question

（理工類考生做） 已知函數(shù)f(x)=

kx+1

x2+c

（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一個極大值點和一個極小值點，其中一個是x=-c．
（1）求函數(shù)f（x）的另一個極值點；
（2）求函數(shù)f（x）的極大值M和極小值m，并求M-m≥1時k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）原函數(shù)f（x）恰有一個極大值點和一個極小值點就是導函數(shù)f′（x）=0恰有兩個不等實根，利用根與系數(shù)的關系求出另一根即可．
（2）根據(jù)開口向上和向下兩種情況分別找到M-m，再解M-m≥1即可．

解答：解：（1）f′（x）=

k(x2+c)-2x(kx+1)

(x2+c)2

=

-kx2-2x+ck

(x2+c)2

，
由題意知f′（-c）=0，即得c²k-2c-ck=0，（*）
∵c≠0，∴k≠0．
由f′（x）=0，得-kx²-2x+ck=0，
由韋達定理知另一個極值點為x=1（或x=c-

2

k

）．
（Ⅱ）由（*）式得k=

2

c-1

，即c=1+

2

k

．
當c＞1時，k＞0；當0＜c＜1時，k＜-2．
（i）當k＞0時，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內是減函數(shù)，在（-c，1）內是增函數(shù)．
∴M=f（1）=

k+1

c+1

=

k

2

＞0，m=f（-c）=

-kc+1

c2+c

=

-k2

2(k+2)

＜0，
由M-m=

k

2

+

k2

2(k+2)

≥1及k＞0，解得k≥

2

．
（ii）當k＜-2時，f（x）在（-∞，-c）和（1，+∞）內是增函數(shù)，在（-c，1）內是減函數(shù)．
∴M=f（-c）=

-k2

2(k+2)

＞0，m=f（1）=

k

2

＜0，M-m=

-k2

2(k+2)

-

k

2

=1-

(k+1)2+1

k+2

≥1恒成立．
綜上可知，所求k的取值范圍為（-∞，-2）∪[

2

，+∞）．

點評：本題考查利用導函數(shù)來研究函數(shù)的極值以及對分類討論思想的考查．分類討論思想在數(shù)學中是非常重要的思想之一，所以希望能加強這方面的訓練．