Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n，數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_nb_n，是否存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切n∈N^*，都有c_n≤M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-1，當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n的通項(xiàng)公式，把n=1代入也滿足，得到即可；因?yàn)閿?shù)列{bn}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，根據(jù)a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁，即可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到b_n的通項(xiàng)；
（2）把a(bǔ)_n和b_n的通項(xiàng)公式代入到c_n=a_nb_n中，可確定c₃最大，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n，
∴n≥2 時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-4，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-1，滿足上式
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4n-5（n∈N^*）
∵數(shù)列{b_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=1，b₃=

1

4

，q=

1

2

∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=

1

2n-1

（2）∵c_n=a_nb_n，∴c_n=

4n-5

2n-1

由cn+1-cn=

9-4n

2n

≥0，可得n≤2，當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1≤c_n
∴c₃最大，最大值為

7

4

．
故存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切n∈N^*，都有c_n≤M成立，M的最小值為2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查存在性問題，屬于中檔題．