Question

做一個體積為32m³，高為2m的長方體紙盒
（1）若用x表示長方體底面一邊的長，S表示長方體的側(cè)面積，試寫出S與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取什么值時，做一個這樣的長方體紙盒用紙最少？

Answer 1

解：（1）由題意知，該長方體的底面積為，故它的底面另一邊長為
．
（2）要使用紙最少，即是使長方體的表面積最小，也就是求S的最小值．
由于；，令S′=0，解得x₁=4，x₂=-4（舍去）．
當(dāng)0＜x＜4時，S′＜0，即該函數(shù)在（0，4）單調(diào)遞減，；當(dāng)x＞4時，S′＞0，即該函數(shù)在（4，+∞）單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=4時，S取最小值，即此時用紙最少．
答：當(dāng)x=4時，做一個這樣的長方體紙盒用紙最少．
分析：（1）利用長方體的體積計算公式算出底面積，從而求出底面的另一邊長是解決本題的關(guān)鍵，利用側(cè)面積的計算公式表述出S與x間的函數(shù)關(guān)系式，并注明該函數(shù)的定義域；
（2）將用紙最少轉(zhuǎn)化為求側(cè)面積的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)工具確定該函數(shù)的最小值，注意函數(shù)單調(diào)性的說明．
點評：本題考查函數(shù)的應(yīng)用問題，考查函數(shù)的模型問題，考查學(xué)生的函數(shù)模型意識解決相關(guān)的應(yīng)用問題，根據(jù)構(gòu)建的函數(shù)模型選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛瘮?shù)的最值問題，實現(xiàn)該優(yōu)化問題的求解．考查學(xué)生規(guī)范解題的習(xí)慣．