Question

已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，先設(shè)∠B₂F₁B₁=60°，求出雙曲線的離心率．再設(shè)∠F₁B₂F₂=60°，求出雙曲線的離心率．解題的同時(shí)要進(jìn)行驗(yàn)根，避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤．

解答：解：設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F₁和F₂，虛軸兩個(gè)端點(diǎn)是B₁和B₂，則四邊形F₁B₁F₂B₂為菱形．
若∠B₂F₁B₁=60°，則∠B₂F₁F₂=30°．由勾股定理可知c=

3

b．∴a=

3b2-b2

=

2

b，
故雙曲線C的離心率為e=

3 b

2 b

=

6

2

．
若∠F₁B₂F₂=60°，則∠F₁B₂B₁=30°，由勾股定理可知b=

3

c，不滿足c＞b，所以不成立．
綜上所述，雙曲線C的離心率為

6

2

．
答案：

6

2

．

點(diǎn)評：解題時(shí)應(yīng)該分∠B₂F₁B₁=60°和∠F₁B₂F₂=60°兩種情況求出雙曲線的離心率．解題時(shí)要注意a，b，c中c最大．