Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大�。�
（2）向量

m

=（cosA，sinA），向量

n

=（cosA，-sinA），求

m

•

n

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理可將（2a-c）cosB=bcosC的邊轉(zhuǎn)化為相應(yīng)角的正弦，利用誘導(dǎo)公式即可求得角B的大��；
（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得

m

•

n

=cos2A，從而可得

m

•

n

的最小值．

解答：解：（1）由（2a-c）cosB=bcosC得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC          …（2分）
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA…（4分）
又∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又B∈（0，π），故B=

π

3

 …（6分）
（2）∵B=

π

3

，
又∵A+C=

2π

3

，
∴A∈（0，

2π

3

），2A∈（0，

4π

3

），
∴-1≤cos2A＜1 …（10分）
又∵

m

=（cosA，sinA），

n

=（cosA，-sinA），

m

•

n

=cos²A-sin²A=cos2A，
∴

m

•

n

的最小值為-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查余弦函數(shù)的最值，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．