Question

（08年湖南六校聯(lián)考理）  設(shè)函數(shù)，其中

    （1）求的單調(diào)區(qū)間；

       （2）當時，證明不等式；

       （3）已知，若存在實數(shù)使得，則稱函數(shù)存在零點，試證明在內(nèi)有零點。

Answer 1

解析：（1）由已知得函數(shù)的定義域為且，

       由，解得。

       當變化時，，的變化情況如下表：

	－	0	＋
		極小值

       由上表可知，當時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是。

       （2）設(shè)。

       對求導(dǎo)，得。

       當時，，所以在內(nèi)是增函數(shù)。又因為在上連續(xù)，所以在上是增函數(shù)。

       當時，，即

       同理可證（8分）

       （3）由（1）知的最小值為，令

       將代入，得：，

       即，

       ，即。可知

       假設(shè)在內(nèi)沒有零點，由于在上連續(xù)，且，（10分）

       故當時，恒成立（若不然，則與函數(shù)零點存在的判定定理矛盾）。

       即對任意恒成立。

       令，對求導(dǎo)，得。

       ，由（2）知在內(nèi)為減函數(shù)。

       ，這與矛盾，故假設(shè)不成立。

       所以在內(nèi)有零點。（13分）