Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為邊上一點(diǎn)，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若，試問：是否與平面平行？若平行，求三棱錐的體積；若不平行，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）兩者平行，且 .

【解析】

（1）利用平面，證得平面，得到，利用余弦定理證得，由此證得平面，從而證得平面平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得,同理證得,所以平面平面，由此證得平面.利用求得三棱錐的體積.

(1)證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，

所以BB1⊥平面ABC，

因?yàn)?/span>，

所以AD⊥BB1．

在△ABD中，由余弦定理可得，，

則，

所以AD⊥BC，

又，

所以AD⊥平面BB1C1C，

因?yàn)?/span>，

所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．

(2)解：A1C與平面ADB1平行．

證明如下：取B1C1的中點(diǎn)E，連接DE，CE，A1E，

因?yàn)锽D＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，

所以四邊形ADEA1為平行四邊形，

則A1E∥AD．

同理可證CE∥B1D．

因?yàn)?/span>，

所以平面ADB1∥平面A1CE，

又，

所以A1C∥平面ADB1．

因?yàn)锳A1∥BB1，

所以，

又，且易證BD⊥平面AA1D，

所以．