Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a1=3，an=3an-1(n≥2)．
（1）求證：?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；
（2）求a₂₀₁₀的末位數(shù)字．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合題設(shè)條件，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（2）由an+1=3an=34mn+3=(81)mk×27．知a₂₀₁₀的末位數(shù)字是7．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，
假設(shè)n=k時(shí)，a_k=4m_k+3，m_k∈N．
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=3ak=34mk+3=(4-1)4mk+3=

C

0 4mk+3

44mk+3•(-1)0+

C

1 4mk+3

•44mk+2•(-1)1++

C	4mk+2 4mk+3

•41•(-1)4mk+2+

C	4mk+3 4mk+3

•40•(-1)4mk+3
=4T-1=4（T-1）+3，
其中T=

C

0 4mk+3

44mk+2•(-1)0+

C

1 4mk+3

•44mk+1•(-1)1++

C	4mk+2 4mk+3

•(-1)4mk+2∈N*
∴?m_k+1=T-1∈N，使a_k+1=4m_k+1+3．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
∴?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；（7分）
（2）an+1=3an=34mn+3=(81)mk×27．
故a₂₀₁₀的末位數(shù)字是7．（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟．