Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE=BC，F(xiàn)為CE上的一點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求證：AE∥平面BFD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由平面ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，得到AD⊥平面ABE，從而得出AD⊥AE，由線面垂直的判定得AE⊥平面BCE，從而證得AE⊥BE，（2）設(shè)AC∩BD=G，連接FG，易知G是AC的中點(diǎn)，由中位線定理得FG∥AE，由線面平行的判定證得AE∥平面BFD．
解答：解：（1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，則BC⊥AE．（3分）
又BF⊥平面ACE，則BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．（7分）

（2）設(shè)AC∩BD=G，連接FG，易知G是AC的中點(diǎn)，
∵BF⊥平面ACE，則BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中點(diǎn)．（10分）
在△ACE中，F(xiàn)G∥AE，
∵AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．（14分）
點(diǎn)評：本題通過線線平行和線面平行，線線垂直和線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化，來考查線面、面面平行和垂直的判定定理．