在立體圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．

AC，BD交于O點．

（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大�。�

（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小．


解析:

（Ⅰ）解：連QO，則QO∥PA且QO＝PA＝AB

∵ PA⊥面ABCD

∴ QO⊥面ABCD

面QBD過QO，

∴ 面QBD⊥面ABCD

故二面角Q－BD－C等于90°．

（Ⅱ）解：過O作OH⊥QD，垂足為H，連CH．

∵ 面QBD⊥面BCD，

又∵ CO⊥BD

CO⊥面QBD

CH在面QBD內(nèi)的射影是OH

∵ OH⊥QD

∴ CH⊥QD

于是∠OHC是二面角的平面角．

設(shè)正方形ABCD邊長2，

則OQ＝1，OD＝，QD＝．

∵ OH·QD＝OQ·OD

∴ OH＝．

又OC＝

在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝

∴ ∠OHC＝60°

故二面角B－QD－C等于60°．

練習冊系列答案
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在立體圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．AC，BD交于O點．

(Ⅰ)求二面角Q－BD－C的大�。�

(Ⅱ)求二面角B－QD－C的大�。�

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（2）求證：直線平面PCD．

 

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AB＝BC＝a，AD=PA＝2a，E是邊的中點，且PA⊥底面ABCD。

（1）求證：BE⊥PD

（2）求證：

（3）求異面直線AE與CD所成的角．

                         

 

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（本小題滿分12分）在立體圖形P-ABCD中，底面ABCD是正方形，直線PA垂直于底面，且PA=AD，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：平面PAD；
（2）求證：直線平面PCD．

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