【題目】四面體及其三視圖如圖所示，過棱的中點作平行于、的平面分別交四面體的棱、、于點、、．

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）求點到面的距離．

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由三視圖得到四面體ABCD的具體形狀，然后利用線面平行的性質(zhì)得到四邊形EFGH的兩組對邊平行，即可得到四邊形為平行四邊形，再由線面垂直的判定和性質(zhì)得到，結(jié)合異面直線所成角的概念得到，從而證得結(jié)論；

（2）利用線面平行時，直線上的點到平面的距離是相等的，將點到面的距離轉(zhuǎn)化為點D到面的距離，求解即可.

（1）證明：由,同理可得

所以

由的面，同理可得

所以

所以四邊形是平行四邊形

由三視圖可知，所以,又

所以,所以四邊形是矩形

（2）易知點到面的距離即點到面的距離，

由

所以點到面的距離即點到線的距離

由（1）和是的中點可知、分別是、的中點，

又由三視圖可知是等腰直角三角形，

易得點到線的距離為，即點到面的距離

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．

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【題目】，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

（1）當直線與成角時，與成角；

（2）當直線與成角時，與成角；

（3）直線與所成角的最小值為；

（4）直線與所成角的最小值為；

其中正確的是______（填寫所有正確結(jié)論的編號）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數(shù)分別是240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動。

（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？

（2）設(shè)抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學來自同一年級”發(fā)生的概率。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間（單位：小時），統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分別直方圖（如圖）．已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同，甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的有8人．

（I）求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的人數(shù)；

（II）從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試，設(shè)4人中甲班學生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取次．記錄如下：

甲： ， ， ， ， ， ， ，

乙： ， ， ， ， ， ， ，

（）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)．

（）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適?請說明理由．

（）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預測，記這次成績中高于分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)y與聽課時間x（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當x∈（0，12]時，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點A（10，80），過點B（12，78）；當x∈[12，40]時，圖象是線段BC，其中C（40，50）．根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)大于62時，學習效果最佳．

（1）試求y=f（x）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）教師在什么時段內(nèi)安排內(nèi)核心內(nèi)容，能使得學生學習效果最佳？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓：，圓：，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若是曲線上關(guān)于軸對稱的兩點，點，直線交曲線

于另一點，求證：直線過定點，并求該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

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