Question

已知數(shù)列中，，，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，請說明理由；
（3）若且，，求證：使得，，成等差數(shù)列的點(diǎn)列在某一直線上.

Answer 1

（1）詳見解析；（2），，成等差數(shù)列；（3）詳見解析.

試題分析：（1）證明一個數(shù)列為等比或等差數(shù)列，一般都是從定義入手，本小題首先需要將已知條件變形為，由于，則（常數(shù)），然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即（）；
（2）本小題首先假設(shè)在數(shù)列中存在連續(xù)三項(xiàng)，，（，）成等差數(shù)列，則，代入通項(xiàng)公式可得，即，，成等差數(shù)列.
（3）本小題首先根據(jù)，，成等差數(shù)列，則，于是可得，然后通過不定方程的分類討論可得結(jié)論
試題解析：（1）將已知條件變形為  1分
由于，則（常數(shù)）  3分
即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列  4分
所以，即（）。  5分
（2）假設(shè)在數(shù)列中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，
不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為，，（，），
由題意得，，
將，，代入上式得  7分
      8分
化簡得，，即，得，解得
所以，存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為，，成等差數(shù)列。  10分
（3）若，，成等差數(shù)列，則
即，變形得  11分
由于若，且，下面對、進(jìn)行討論：
① 若，均為偶數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；
② 若為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，解得；
③ 若為偶數(shù)，為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；
④ 若，均為奇數(shù)，則，解得，與矛盾，舍去；  15分
綜上①②③④可知，只有當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，，，成等差數(shù)列，此時滿足條
件點(diǎn)列落在直線（其中為正奇數(shù)）上。  16分（不寫出直線方程扣1分）