Question

18．設(shè)a，b，c∈R+，且a+b+c=1，則$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{^{2}}$$+\frac{1}{{c}^{2}}$的最小值是27．

Answer 1

分析 運(yùn)用三元均值不等式1≥3$\root{3}{abc}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{^{2}}$$+\frac{1}{{c}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}}$，即可得到最小值．

解答 解：∵a+b+c=1，a，b，c＞0，
∴1≥3$\root{3}{abc}$，
∴$\frac{1}{abc}$≥27，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$$+\frac{1}{^{2}}$$+\frac{1}{{c}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}}$≥27（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號），
故答案為：27．

點評 本題考查三元均值不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．