理科（本小題14分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù),都有

 

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）

當時，，單調(diào)遞增，；

當時，，單調(diào)遞減，；（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

函數(shù)在處取得極大值，故.   3分

（Ⅱ）令，  4分

則.函數(shù)在上可導，存在，使得.

又

當時，，單調(diào)遞增，；

當時，，單調(diào)遞減，；

故對任意，都有.   8分

（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.

①當時，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

當時，結(jié)論成立.   9分

②假設當時結(jié)論成立，即當時，

. 當時，設正數(shù)滿足令，

 

則，且.

13分

當時，結(jié)論也成立.

綜上由①②，對任意，，結(jié)論恒成立.   14分

考點：本題主要考查導數(shù)的幾何意義，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明，數(shù)學歸納法。

點評：難題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，是導數(shù)的應用中的基本問題。本題（III）應用數(shù)學歸納法證明不等式，難度較大。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分14分)

已知點P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x ?? –1)的圖象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ?? 0 ).

(1) 求證：| ac | ?? 4;(2) 求證：在(–1，+∞）上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西南昌八一、洪都、麻丘中學高二上期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）（理科）已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，且,,

求證：為定值，并計算出該定值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年廣東省高二上學期期中考試數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分） 已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）（理科做，文科不做）若，求和：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

 (2012年高考四川卷理科22) (本小題滿分14分)

    已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）當時，比較與的大小，并說明理由.

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