Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-4x+3|
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；
（2）關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若：h（x）=|4x-x²|+a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）作出函數(shù)f（x）=|x²-4x+3|的圖象，由圖象直接得到單調(diào)區(qū)間；
（2）由f（x）-a=x，得f（x）=x+a，把方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；
（3）若h（x）=|4x-x²|+a有4個(gè)零點(diǎn)，即方程|4x-x²|+a=0有4個(gè)根，即方程|4x-x²|=-a有4個(gè)根，作出函數(shù)g（x）=|4x-x²|，t（x）=-a，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的圖象如圖，

由圖象可知函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（-∞，1]，（2，3]；
函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，2]，（3，+∞）；
（2）由f（x）-a=x，得f（x）=x+a，
聯(lián)立

y=x+a y=-x2+4x-3

，得x²-3x+a+3=0，
由△=（-3）²-4（a+3）=0，得a=-

3

4

．
所以方程f（x）-a=x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，-

3

4

）；
（3）若h（x）=|4x-x²|+a有4個(gè)零點(diǎn)，即方程|4x-x²|+a=0有4個(gè)根，
即方程|4x-x²|=-a有4個(gè)根．
令g（x）=|4x-x²|，t（x）=-a，作出g（x）的圖象如圖，

由圖象可知要使方程|4x-x²|=-a有4個(gè)根，則g（x）與t（x）的圖象應(yīng)有4個(gè)交點(diǎn)，
∴0＜-a＜4，即-4＜a＜0，
∴a的取值范圍是（-4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．