Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線  y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{4}$=1
• B． $\frac{x^2}{4}$-y²=1
• C． $\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{9}$=1
• D． $\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{3}$=1

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)雙曲線漸近線的關(guān)系建立方程求出a，b的值，即可得到結(jié)論．

解答 解：拋物線  y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴-$\frac{p}{2}$=-1，即p=2，y=$\frac{a}$x過(guò)（-1，-1），
即-1=-$\frac{a}$，則$\frac{a}$=1，即b=a，
雙曲線的左頂點(diǎn)為（-a，0），拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線  y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，
∴1-（-a）=1+a=4，
則a=3，b=3，
即雙曲線的方程為$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{9}$=1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．